Nine Cornered Pascalloid

I suggest using some proper method from the late 19th or early 20th centuries adapting the word "Neumenial" Pascalloid. These sheets of coefficient numbers would be lined up along a z-axis through the screen forming an z=N based pyramidical lattice of numbers..

Here is a mysterious basic resolutioned nine-gon, note that no resolution will provide perfect terms using a spreadsheet, certainly it is true the high resolutions are more accurate with the nine-gon, as well as with the 7-gon "Heptagon" or the 5-gon "Pentagon", these three Pascalloids will not have an automatic symmetry, so the scaling towards reachable resolutions must be done carefully.

In our example here: the corners are the variables for the 9-gon Pascalloid at a fifteen by sixteen resolution In this case the first incidence of polynomial overlap occurs at N=3, where we have two incidences of 12. Examining the expansion (a+b+c+d+e+f+g+h+i)3, there is no incidence of a polynomial 12 at all. In the Pascalloid, this is a kind of folding error specific to any given resolution. Higher resolution summation algorithms allow better accuracy for comparison with their expansion. In this case, even though folding errors start at N=3, I will give the results all the way to N=11, for an interesting reason special to the 9-gon Summation iteration. All nine variables that would occur in tandem with the coefficients are set to unity, thus the terms drop away.

0 0
0
0
1
0
0
0
0
0

total = 90 = 1



1
1
1
1
1
1
1
1 1

total = 91 = 9



1
2
1 2
2
1
2
2 2
2 2
2
2
1 2 2
2 2 2
2 1
2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
1 2 2
2 2 2
1
2 2
2 2
1 2 1

total = 92 = 81



1
3
3 3
1 6
3 3
3 3
6 3 1
3 6 6
6 3 6
3 3 6
3 6 3 3
3 3 6 6 6
3 6 6 3 6 3
3 6 6 6 3
6 6 6 3 3
1 6 3 3 6 6 6 6
6 3 6 6 6 6 6
6 6 6 6 3
3 6 6 6 1
3 3 6 6 6 6 6
3 3 6 12 6 6 6 3
6 6 3 3 6 6
6 6 3 3
3 3 6 3 6 6 6
6 3 6 6 12 6 6
3 6 6 3 6 3
3 6 3 3
1 6 6 3 6 3
3 6 6 3 6 6 6 3
3 6 6
1
3 6 6 3
6 6 3 6 3
3 3
3 6 3
3 6 3
1 3 3 1

total = 93 = 729



1
4
6 4
4 12
1 12 6
4 4 12
12 6 4 4
12 12 12 4
4 24 12 12 1
12 4 4 12 24
6 12 12 12 4 12
12 12 12 12 12 4 12
6 4 12 24 24 12 12 6 4
12 12 12 4 4 16 24 24 12
12 12 6 24 24 12 6 12 12
4 24 12 12 12 12 12 16 12 12 12
4 12 4 4 24 12 24 24 24 24 12 4 6
4 24 12 12 12 12 12 24 24 24 24 12
6 12 24 12 24 24 24 12 12 24 4
12 12 24 24 12 12 12 24 16 24 4 4
1 12 6 12 12 12 12 24 48 24 24 24 6 12 4
12 4 12 12 24 36 24 12 12 24 24 12 12 24 24
12 18 12 24 42 24 12 18 24 24 12 12
12 12 24 12 24 12 24 24 12 12 16 12 12
4 12 12 12 12 12 24 12 24 24 48 24 24 6 12 1
12 4 12 36 12 24 12 24 36 24 12 12 24 24 12 24 12
6 24 12 12 36 12 48 42 24 12 24 12 12
4 24 24 12 24 12 12 24 24 4 12 12 12 12
6 4 4 24 4 24 6 12 12 6 24 24 12 24 24 24 12 12 4
4 12 12 36 12 48 24 12 12 24 24 24 12 12 24 24
12 6 24 6 36 24 18 24 48 24 24 6 4
12 24 24 12 12 12 12 4 24 4 24 4
4 12 12 12 24 24 12 24 24 12 24 12 4 6
12 4 12 12 24 48 12 24 48 12 12 24 12 12 12
12 12 24 24 12 36 12 24 12 12 24 12
12 24 12 4 12 12 12 12 12
1 12 18 12 12 24 6 12 12 24 12 4
4 24 12 12 24 24 36 24 36 12 12
6 12 24 12 12 24 6 24 12 12 6
4 12 12 4 4 12 12
4 16 24 4 12 12 12 4 1
12 24 12 4 24 24 12 12 12 12 4
12 12 12 24 12
4 4
6 16 18 12 4
12 24 4 12 12 12 4
6 12 6
4 12 12 4
4 12 12 4
1 4 6 4 1

total = 94 = 6,561



1
5
10 5
10 20
5 30 10
1 20 5 30
5 20 30 5 10
30 10 20 20 20
20 60 30 10 20 5
5 60 5 20 30 60 5
20 10 20 5 60 60 5 30 1
30 30 30 20 20 20 20 20 60
30 20 30 60 60 30 20 30 20 10 20
10 5 60 60 60 20 5 35 60 60 30 5 20
30 20 20 20 5 20 30 80 120 60 30 30 30 5
10 60 30 30 60 60 20 20 20 10 20 40 60 60 60
20 60 20 20 60 30 60 60 60 10 80 60 30 30 20 20 30
10 20 5 20 5 120 60 60 60 60 60 60 60 60 60 35 20 20 30
20 60 30 30 20 20 20 20 80 60 120 120 120 60 60 60 10 5 10
30 30 60 10 120 60 60 60 60 20 20 30 20 60 80 80 120 20 20
5 60 30 60 60 30 30 60 120 80 60 30 60 120 80 60 20 20 60 20
5 30 10 20 20 60 20 60 60 120 180 120 60 60 60 60 30 30 60 20 80 35 60 5 20
5 60 20 30 30 60 80 80 20 50 80 120 210 120 60 90 120 120 30 30 20 10
30 30 60 60 20 90 60 120 150 60 30 70 60 20 60 80 120 60 60 80 60 60
20 60 60 60 60 60 60 30 60 60 130 30 120 170 120 60 50 80 30 60 30 60 5
1 20 30 30 20 30 20 60 20 60 180 60 120 60 120 180 120 60 30 60 60 30 80 60 60 30 40 60 20 5
20 5 60 20 60 120 30 60 60 60 80 60 30 120 60 60 140 60 240 190 120 60 120 60 30 10 30 5
10 60 90 20 60 30 160 60 60 180 60 180 150 120 30 60 30 60 120 120 20 60 60 60 60
30 20 20 120 20 120 30 60 30 30 60 60 30 120 90 60 140 60 190 170 20 90 60 60 60 60 20
5 30 10 20 60 20 60 10 20 60 60 20 180 60 10 240 120 60 60 120 120 120 60 30 60 30 120 80 20 60 35 20 20 30
30 5 20 20 80 60 150 20 60 180 60 60 30 60 60 60 60 30 120 60 180 120 90 120 240 120 120 30 10 30 20 1
30 70 60 60 20 210 30 180 30 240 120 60 90 120 180 120 60 30 60 60 60 20 120 20 120 20
20 60 60 60 120 120 60 60 90 60 120 30 150 140 60 130 70 210 80 20 120 10 20 20 30
10 20 5 60 5 30 60 60 60 60 20 90 60 120 240 60 120 240 60 60 120 60 30 60 60 60 20 80 5 30 20 60 20
20 20 30 120 20 20 60 120 120 20 180 60 120 180 30 60 120 60 120 30 120 60 180 60 120 60 60 120 60 10 30 5
30 60 30 60 120 120 180 240 60 240 60 240 60 120 60 60 120 80 60 60 60 60 60
5 60 90 60 60 120 30 60 30 60 60 30 180 30 180 60 150 50 120 120 60 80 60 30 20
10 5 20 60 20 90 30 60 60 50 30 120 60 60 120 120 180 120 180 60 60 20 60 60 20 20 60 30 5 60 5
5 30 20 80 20 60 210 80 60 60 180 120 150 30 120 120 30 60 30 60 120 60 60 120 30 120 60 60 30 20 10
20 30 60 20 150 60 60 120 180 240 60 210 60 240 30 160 60 60 60 20 30 60 60
20 80 120 20 60 60 60 20 30 10 60 30 80 120 90 80 180 30 120 20 60 60 30 30 5
5 30 20 40 80 20 120 10 10 60 30 60 30 120 60 30 120 120 60 60 60 60 20 20 20 30 5 60 20 60 20
20 5 20 60 60 140 60 90 240 60 60 20 180 120 30 60 60 60 60 60 20 60 60 120 60 5 10
30 20 60 30 120 30 180 90 120 70 180 180 90 60 180 60 60 10 20 20
30 80 90 60 20 20 30 60 60 60 80 60 60 60 30 120 20 60 10
1 20 50 30 60 80 30 90 60 80 120 20 60 60 60 20 5 20 20 30 20 30
5 60 20 30 90 80 140 60 120 210 50 60 120 60 20 60 30 20 60 30 5
10 60 60 60 60 120 30 150 20 120 60 120 60 60 30 30 60 20
20 60 60 20 10 20 60 30 20 60 30 60 60 30 30
5 35 70 20 60 60 30 60 10 20 20 60 60 20 5 20 20
20 80 30 20 120 80 80 60 90 120 60 80 20 20 1
30 60 60 20 60 120 10 60 30 60 30 60 30 20 10
5 20 30 20 5 20 20 30 60 30
10 40 70 5 60 20 20 30 20 5 5 5
30 80 20 5 90 60 20 60 60 30 20 20 20 5
30 60 20 30 60 60 20
10 20 10
10 35 50 40 20 5
20 60 5 60 20 20 30 20 5
10 30 30 10
5 20 30 20 5
5 20 30 20 5
1 5 10 10 5 1

total = 95 = 59,049



1
6
15 6
20 30
15 60 15
6 60 6 60
1 30 30 90 6 20
6 60 60 30 30 60
60 15 120 60 60 30 15
30 180 6 60 20 60 120 30
6 120 15 30 30 180 180 6 15 60 6
30 60 60 6 180 30 120 30 30 60 180 6
90 60 60 60 120 30 120 60 120 180 30 15 60 1
60 30 180 180 180 60 66 66 60 120 120 60 30 120
15 6 180 120 30 120 30 30 90 210 360 180 90 30 60 60 60 30
60 20 30 120 30 6 60 180 240 360 120 30 30 60 30 90 180 180 180 6 30
60 180 60 90 120 120 120 60 30 120 120 15 120 60 240 360 180 180 30 60 90 6
60 120 30 60 30 360 180 180 180 180 60 240 180 60 120 120 60 120 120 90 120 120 180
20 30 6 120 6 360 180 135 120 120 30 120 210 180 360 360 360 15 180 210 120 60 90 120 20 30 60
60 120 60 60 90 30 30 120 60 30 480 360 360 360 360 30 120 180 30 180 210 240 360 66 60 30 30 60
15 180 90 180 60 360 180 180 180 120 120 240 30 60 240 120 180 360 480 480 360 120 75 180 60 6 15
30 180 60 120 120 180 60 180 180 360 540 20 480 180 180 180 360 240 120 120 120 120 80 120 120 240 210 360 30 120
15 60 15 30 30 30 360 120 180 180 360 480 390 120 120 300 360 630 360 180 300 360 60 120 480 210 180 30 120 60 120 60
30 180 60 60 120 120 150 60 240 270 120 300 390 720 900 360 180 420 360 30 360 210 360 180 180 240 180 30 210 66 120 6 60
60 180 180 15 180 360 120 270 180 360 390 120 180 60 315 120 120 300 300 480 780 720 360 300 480 180 360 90 180 15 30 20
6 120 180 180 120 180 120 180 60 180 540 180 360 240 360 60 600 180 720 660 360 180 180 300 120 60 120 180 60 240 360 240 180 240 360 120 30
6 60 60 60 30 60 120 60 360 120 360 720 180 360 360 360 480 360 135 360 180 180 390 180 720 570 60 480 180 600 360 360 120 240 180 120 75 60 180 30
6 120 30 180 60 180 320 60 120 300 120 150 300 240 360 90 960 360 360 840 360 1080 780 720 180 360 180 180 360 360 60 180 180 210 120 240 60 90 180 30 30
90 60 60 360 120 30 540 120 360 90 600 180 180 540 300 480 390 120 480 60 180 480 300 420 600 360 1140 900 120 540 360 360 360 180 60 15 60 15
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6 30 60 60 30 6
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total = 96 = 531,441



1
7
21 7
35 42
35 105 21
21 140 7 105
7 105 42 210 7 35
1 42 105 210 42 42 140
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42 210 140 7 420 105 210 210 210 105 420 630 42 42 140 <